Namen des Leihgebers
KL!CK Kindermuseum

Langbeschreibung

Begleitheft zu der Ausstellung MINI-Mathe

Inhalt

Grundanahmen der Mathematik – Axiome

Die Ausstellung – Grundgedanken

Die Stationen – Allgemeines

Sortieren

Muster

Formen

Messen

Zahlen

Zahlenspiele

Axiome

Axiome sind Grundannahmen, die nicht bewiesen werden müssen und die die Grundlage für ein gesamtes Denkgebäude, z.B. Mathematik bilden. Auf den ersten Blick erscheinen sie oft selbstverständlich, häufig gelten sie aber nicht für andere Gegebenheiten.

1) Identität

a) Jede Größe ist sich selbst gleich

In der Mathematik ist diese Annahme sinnvoll, weil wir mit wechselnden Größen nicht rechnen könnten.

Ein Satz, den man für den Verlauf von Zeit und Änderung von Umständen nicht gelten lassen kann. Gegenstände oder Menschen altern, verlieren oder gewinnen an Wert, Nützlichkeit, Ansehen usw., ändern sich innerlich und äußerlich. Dennoch bleiben sie eine Teekanne oder ein bestimmter Mensch. Eine Zahl altert nicht, lernt nichts dazu und verschleißt auch nicht.

b). „Das Identitätsprinzip besagt, dass ein Gegenstand A genau dann mit einem Gegenstand B identisch ist, wenn sich zwischen A und B kein Unterschied finden läßt. Die Methode, durch die Identität erkannt wird, ist der Vergleich.“ Leibniz

Sprache unterscheidet zwischen dasselbe und das Gleiche. Z. B. ein Buch kann das Gleiche sein (weil es viele Male gedruckt wurde), aber dasselbe gibt es nur einmal.

Außerdem gibt es eine Unterscheidung auf verschiedenen Ebenen: wenn Zwillinge äußerlich identisch sind, heißt es nicht, dass sie auch innerlich z.B. dasselbe denken und fühlen müssen. Eine Zahl hat kein Innenleben.

2) Widerspruchsfreiheit

1. Zwei einander widersprechende Aussagen können nicht zugleich zutreffen.

Das erscheint besonders Kindern völlig logisch, ist aber in unserem komplizierten Alltagsleben oftmals schwierig zu entscheiden. Bei Streitigkeiten merkt man nach dem Anhören beider Seiten oftmals, dass die subjektiven Wahrheiten einander widersprechen, aber trotzdem niemand der Lüge bezichtigt werden kann.

Ebenso spielen Zeit und Ort eine Rolle. Wenn ich mit jemanden in China telefoniere und derjenige sagt „Guten Morgen“ und ich sage „Guten Abend“, haben wir beide recht.

b) „Doch wir haben eben angenommen, es sei unmöglich, dass etwas zugleich sei und nicht sei.“  Aristoteles

Wir sind geneigt, diesem Satz zuzustimmen. Leider hat uns die moderne Physik eines Besseren belehrt, was aber unser Vorstellungsvermögen sehr strapaziert: von bestimmten Teilchen läßt sich entweder sagen, wo es sich befindet, oder in welchem Zustand es sich befindet, nicht beides gleichzeitig.

3) ausgeschlossenes Drittes

Für eine beliebige Aussage muss mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten: Eine dritte Möglichkeit, also dass lediglich etwas Mittleres gilt, das weder die Aussage ist, noch ihr Gegenteil ist, sondern irgendwo dazwischen, kann es nicht geben.

Ein Satz, den wir manchmal kzeptieren, manchmal nicht. Hamlet hat diesen Satz beherzigt, als er sagte „Sein oder Nichtsein, das ist hier die Frage “. Ein Drittes ist nicht denkbar: Wir sind entweder lebendig oder tot.

„Obst ist gesund“ würden wir als bewiesen ansehen, aber es gibt durchaus Menschen, die darauf allergisch reagieren und es als ungesund meiden. Wir differenzieren unsere Aussagen im Alltagsleben .

In der Mathematik ist ein Ergebnis entweder richtig oder falsch, fast richtig oder nur ein bißchen falsch ist  - zumindest in der angewandten Mathematik – nicht akzeptabel.

4) Zureichender Grund

a) Nichts geschieht ohne Grund

(lat. nihil fit sine causa; so von Cicero)

In der Mathematik bedeutet das, dass ich für jede Operation, die ich durchführe einen Grund oder eine Erklärung haben muss.

"Im Sinne des zureichenden Grundes finden wir, dass keine Tatsache als wahr oder existierend gelten kann und keine Aussage als richtig, ohne dass es einen zureichenden Grund dafür gibt, dass es so und nicht anders ist, obwohl uns diese Gründe meistens nicht bekannt sein mögen“ Leibniz

Diese Annahme leitet immer noch die moderne Wissenschaft, die davon ausgeht, dass jedwede Gründe durch Forschung erkennbar werden können und irgendwann somit alle Phänomene erklärbar werden.

In der Pädagogik gehen wir ebenfalls davon aus, dass jedes Verhalten seinen Grund hat. Allerdings gibt es für dasselbe Verhalten viele mögliche Gründe. Auch können unter gleichen Bedingungen verschiedene Verhaltensweisen auftreten. Es handelt sich nicht um eine Wenn-Dann-Beziehung. Vorhersagen sind unmöglich oder unsicher.

b) Jedes Sein oder Erkennen könne oder solle in angemessener Weise auf ein anderes zurückgeführt werden.

Die Mathematik ist ein logisches System, das aufeinander aufbaut.

In der Mathematik gibt es nichts, was in unserem Alltagsleben als Zufall, Schicksal, als Brüche oder Wendungen bezeichnet wird. Menschen können Entscheidungen treffen oder von Entscheidungen anderer betroffen sein,

Zahlen nicht.

5) Reversibilität

Jede Operation ist umkehrbar und kann zu der Ausgangsposition zurück geführt werden.

Wenn ich etwas multipliziere und durch die gleiche Zahl wieder teile, muss dasselbe wieder dabei herauskommen. Es handelt sich um lineare Vorgänge, die eine Vorhersage erlauben.

Leider kann man im Leben seine Entscheidungen selten rückgängig machen und in den alten Zustand zurückkehren. Auch Vorhersagen sind schwierig. Selbst wenn wir alle Voraussetzungen kennen, läßt sich menschliches Verhalten selten treffend voraussagen, weil es sich um einen komplexen Vorgang handelt, der zudem noch von äußeren Faktoren beeinflußt wird.

Die Ausstellung

In der Ausstellung sollen mathematische Grundkompetenzen erworben werden. Dazu werden beispielhaft Materialien zur Verfügung gestellt, die im Alltag leicht zu besorgen sind und somit eine Weiterführung zu Hause und in der Kita erlauben.

Entscheidend für ein späteres Verständnis von Mathematik ist das Verstehen, nicht das Auswendiglernen.

Beispiel

Emil, gerade 4 Jahre alt, zählt seine Leberwursthäppchen: 1, 2, 3, 4, 5. Dann isst er eines und zählt erneut: 1, 2, 3, 5. Wo ist die 4 geblieben? „Die habe ich doch gegessen!“

Daran erkennt man, dass dieses Kind zwar die Zahlen in der richtigen Reihenfolge aufsagen und dazu auf jeweils einen Gegenstand zeigen kann, aber das System des Zählens nicht verstanden hat. Für ihn ist das ein Vorgang der Bennenung. Alle Häppchen bekommen eine Nummer und die bleibt diesem Häppchen zugehörig, egal, wo es sich befindet. Durchaus auch eine Form der Logik!

Einer solchen eigenen Logik der Kinder sollte man niemals widersprechen, da sie auf ihrer Denkebene recht haben. Bei einer Belehrung stiftet man nur Verwirrung, weil die Kinder gar nicht wissen, wovon die Rede ist. Im schlechtesten Fall kommen sie dann zu dem Schluss, dass ihr Denken falsch ist. Das war es aber nicht, es war nur anders (und nicht das vom Erwachsenen erwartete).

Auch für die Mathematik gilt, wie für alles Lernen:

Selber essen macht satt, selber denken macht klug.

Selber denken bedeutet aber, dass die Kinder sich möglicherweise nicht auf den vorgezeichneten Wegen bewegen. Die Aufgabe des Pädagogen besteht  darin, die Denkweise der Kinder zu verstehen und ihnen die Möglichkeiten des Weiterdenkens zu geben. Dazu stellen sie sich selber als Gesprächspartner zur Verfügung, außerdem Erfahrungsgelegenheiten, „Gehirnfutterplätze“, und Aufgaben, an denen die Kinder sich selbstständig abarbeiten. Erklärungen werden nur auf Anfrage abgeben.

Fragen, die nicht gestellt werden, müssen auch nicht beantwortet werden.

Eine der Schwierigkeiten beim Nachvollziehen der Logik der Kinder besteht darin, dass Erwachsene und Kinder manchmal über verschiedene Dinge sprechen. Sprache ist eine schlechte Vermittlerin von mathematischen Sachverhalten. Sprache spiegelt unsere komplexe Welt wider und hält sich oftmals nicht an präzise Angaben, sondern umschreibt Gegebenheiten, die individuell gefühlsmäßig aufgeladen sind und sich deswegen zur Allgemeinverständlichkeit vage halten müssen.

Beispiel

Unter eine Reihe von 5 großen Enten wird eine Reihe von 5 kleinen Enten gelegt. Der Pädagoge fragt: „Was ist mehr?“ Jüngere Kinder werden auf die Reihe großer Enten zeigen. Recht haben sie! Was heißt schon „MEHR“? Eine Nachfrage ist hier wichtig. Die Kinder haben guten Grund, das als „mehr“ zu bezeichnen, weil die Reihe länger ist – Länger kann im Sprachgebrauch mehr sein. Oder sie argumentieren, dass es viel mehr Material ist; auch richtig. Wenn der Erwachsene in Unkenntnis dieser Denkweisen (weil es ihm um Zahlen geht ! Woher soll das Kind das wissen, wenn es zu Zahlen noch keinen Bezug hat?) das Kind korrigiert, verunsichert er es in Kategorien (Länge, Menge), die es schon gut beherrscht.

Die Forderung für das selbstständige Denken bezieht sich auch auf Zahlen und die grundlegenden Rechenoperationen.

Auf welchem Weg eine Aufgabe gelöst wird ist unwichtig. Wichtig ist eine eigene Lösung, die verstanden wird und jederzeit erklärt werden kann.

Beispiel

Lassen sie von einer Gruppe von Menschen eine einfache Aufgabe im Kopf ausrechnen. Bitten Sie sie, sich den Weg zu merken, wie sie das gerechnet haben.

Sie werden meistens erstaunlich viele Möglichkeiten zusammen bekommen, wie eine simple Aufgabe gelöst  werden kann.

Beispiel 64-37=?

Ein paar Lösungswege

A) 64-30=34       34-4-3              = 27

B) 60-30=30       4-7= -3       30-3=27

C) 64-7 (-4-3) =57               57-30=27

D) 64-34=30                         7-4=3         30-3=27

E) 64+3= 67       67-37= 30 30-3=27

F) 37+3 (=40) +20 (=60) + 4 (=64)             3+20+4=27

G) 37+37=74     64=37+37-10        37-10 =27       

Fordern Sie die Gruppe jetzt auf, alle weiteren Aufgaben nach der Methode zu rechnen, bei der sie sich am meisten gewundert hat, die ihr am kompliziertesten oder unverständlichsten erschien. Damit lernen sie, wie ein Kind sich fühlt, dass man dazu zwingt, nach einer bestimmten Methode vorzugehen, die es nicht selber begriffen hat und nicht nachvollziehen kann.

Der einzige, der alle diese Wege verstehen und nachvollziehen können muss, ist der Pädagoge. Er kann dadurch lernen, wie der Rechnende denkt und ihn bei weiteren Aufgaben eine Weiterentwicklung ermöglichen.

Bewerten muss er diese Wege nicht, sie führen alle zum richtigen Ergebnis!

Die Stationen

Beim Sortieren lernen die Kinder, Systeme selber zu erfinden. Sie folgen ihrer eigenen Logik und lernen dabei, auch die Logik anderer Menschen zu verstehen. Sie erkennen Systeme und ihre Gesetzmäßigkeiten. Sie lernen außerdem, dass dies keine starren Vorgaben sind, sondern es viele Möglichkeiten der Ordnung gibt. Sie lernen, ihre eigenen Ausrutscher zu korrigieren und Fehler im System anderer zu erkennen.

Muster können die Kinder überall entdecken: an ihrer eigenen Kleidung, in der Kita, in der Natur. Muster sind beliebt, weil sie Sicherheit geben, vorhersehbar sind, wiederholbar. Muster sind unabhängig vom Material, genau wie die Zahlen. Natürlich sind 5 Hochhäuser nicht dasselbe wie 5 Bleistifte, aber beides ist 5 mal vorhanden. Muster kann man also „übersetzen“.

Beispiel

                              =     =                     = Klatsch, Klatsch, Schnipp, Schnalz

Übersetzungen kommen in der Mathematik relativ häufig vor: Zahlen werden als Blöcke dargestellt, Tabellen als Diagramme, Relationen werden als Kurven gezeichnet, usw. Die Erkenntnis der Ebene, auf welcher dies das Gleiche ist, braucht seine Zeit und viele derartige Erfahrungen.

Geometrische Formen eignen sich auch als Suchspiel im täglichen Leben: was ist rund, was dreieckig, was setzt sich aus verschiedenen Formen zusammen?

Beispiel

Sie machen einen „Dreieckspaziergang“, bei dem sie alles abmalen, was dreieckig ist. Da kommt eine Menge zusammen!

Wir bewegen uns in einer Welt voller Normen, ohne das uns dies ständig bewußt ist. Beim Messen und Wiegen lernen die Kinder diese Einheiten kennen. Manchmal gibt es Begründungen für die Festlegung von Maßeinheiten, manchmal nur Geschichten oder Geschichtliches. Hier ist Wissen die Grundlage für jedes weitere Lernen. Ständig üben sollte man das Schätzen, damit die Kinder ein Gefühl für die Größenordnungen bekommen, mit denen sie umgehen.

Erst ganz zum Schluss in dieser Ausstellung kommen wir zu den Zahlen. Dies geschieht absichtlich, um die Dominanz des Zählens und der Zahlen bei der mathematischen Grundförderung in den Hintergrund zu drängen.

Um Zahlen begreifen zu können, braucht das Kind viele Vorerfahrungen. Zahlen sind abstrakt, wir können mit ihnen unabhängig von Gegenständen operieren. Im ersten Schritt werden Zahlen an Gegenstände, an Finger, an Töne usw. gebunden. Durch die Verschiedenheit dieser Zuordnungen wird allmählich klar, dass Zahlen losgelöst von Materiellem, einfach nur in meinem Kopf oder auf dem Papier existieren können. Die Gegenstände, Finger und Töne sind in diesem Stadium dann nur noch Hilfsmittel zum Repräsentieren der Zahlen. Diesen Unterschied im Denken der Kinder zu erkennen ist wichtig. Nur wenn sie dieses Stadium erreicht haben, verstehen sie die Zahlenwelt.

Anfangs müssen die Kinder jede Zahl einzeln lernen. Das wird Ihnen merkwürdig vorkommen, Sie werden durch Beobachtung diese Tatsache aber bestätigen können. Eine Zahl zu verstehen bedeutet, sie in jeder auftretenden Form wiederzuerkennen und ihre Bestandteile zu kennen. Es bedeutet, bis zu dieser verstandenen Zahl die Grundrechenarten zu beherrschen!

Beispiel

Ein Kind hat die 6 verstanden, wenn es weiß, dass die 6 sich zusammensetzen kann aus

1 und 5, 2 und 4, 3 und 3, 4 und 2, 5 und 1

dass zweimal die 3 die 6 ergibt,

dass dreimal die 2 die 6 ergibt

Sortieren

Kriterien entwickeln

2-3 Kinder nehmen sich zusammen eine Kiste vor und überlegen, nach welchen Gesichtspunkten man die darin enthaltenen Dinge ordnen kann. Alle Kriterien sind erlaubt. Es geht darum, eigene Ordnungen zu finden. Die Kinder sollen ihre Logik benennen können.  Jede Gruppe erklärt den Anderen, was sie gemacht hat.

Der erste Impuls bezieht sich meist auf das Offensichtliche: Farbe, Größe usw. Läßt man den Kindern Zeit oder regt sie an mit der Bemerkung: “Geht das auch noch anders?“, so schauen sie genauer hin und entdecken weitere Merkmale, die man zum Umsortieren nutzen kann. Der Pädagoge sollte ihren Ehrgeiz wecken, um möglichst viele Ordnungssysteme zu entwickeln.

Untermengen bilden

Die Kinder erhalten Bänder, damit sie Untermengen einkreisen können. Auch dabei geht es um das eigene Entdecken dieser Mengen und um Zugehörigkeiten zu verschiedenen Gruppen. Z. B. enthalten die blauen Autos sowohl Laster als auch PKWs, sind also 2 Gruppen. Die roten Autos haben ebenfalls beide Gruppen aufzuweisen. Wenn man sie geschickt platziert, kann um alle Laster einen Bandkringel machen, so dass sie sowohl zu einer Farb-, als auch zu einer Kategoriegruppe gehören.

Mögliche Kriterien

Jüngere Kinder brauchen eindeutigere Kriterien und eine überschaubare Menge, wie sie in den erstgenannten Materialien anfallen

Diese Materialien sind auch für die Bildung von Mustern am Anfang besser geeignet.

Sind die Kinder geübt, kann man zu den schwierigeren Dingen übergehen. Dabei kann man sie dazu anhalten, selber Dinge zu sammeln, z.B. beim Ausflug auf den Spielplatz. Man kann verabreden, Kleinigkeiten von zu Hause mitzubringen

Und erhält so im Laufe der Zeit eigene Sammlungen, die man bei ergänzen und austauschen kann.

Beutelklips

• Farbe

• Länge
•  

Bauklötze -Farbe -Formen -Pinsel

• Länge
• Formen
• Größe des Pinsels

Lockenwickler

• Farbe
• Durchmesser
• Material
•  

Glassteine

• Farbe
• Eindeutig
• schillernd
• Undurchsichtig/ Durchsichtig

Stifte

-Farbe

• Farbe der Umantelung
• Länge
• Dicke
• Form
• Zusatz (Radiergummi)

Autos

• Farbe
• Länge
• Höhe
• Fabrikat
• Ausführung
• Räder usw.

Knöpfe

-Farbe

• Form
• Größe
• Anzahl der Löcher

Haargummis

• Farbe
• Durchmesser
• Höhe
• Material

Gogo-Figuren

-Farbe

• Kopfform
• Ähnlichkeiten
• Augen
• Gesichtsausdruck usw.

Muster

Mit Mustern sind hier Symmetrien gemeint. Die Kinder sollen „sich wiederholende Abfolgen“ mit Gegenständen bilden.

Dabei kann man mit einfachen Reihen anfangen, z.B. mit Klötzchen eine Farbfolge legen:

                                             und dann fragen, „was kommt jetzt?“

Die Kinder gehen schnell zu komplizierteren Mustern über, wenn sie das Prinzip verstanden haben.

Übersetzungen

Wenn die Kinder das Musterlegen gut beherrschen, werden die Muster „übersetzt“.

Das, was mit Klötzchen gelegt wurde, kann man auch klatschen und stampfen, trommeln und tanzen. Oder umgekehrt: ein Kind klatscht vor,

z.B. zweimal in die Hände, einmal auf die Knie. Alle Kinder klatschen mit und suchen sich danach Material, um es zu legen. Dabei ist

                            genauso richtig wie . .

Wir können in der Umgebung nach Mustern Ausschau halten (Pullover oder Söckchen sind gut geeignet) und diese nachlegen, trommeln oder tanzen.

Bei den Mustern werden die Parallelen zwischen Musik und Mathematik deutlich: Musik folgt immer einem Muster, einem Rhythmus. Reiht man irgendwelche Töne willkürlich aneinander, ergibt das nach unserem Gefühl noch keine Musik, es bedarf der Ordnung und der sinnvollen Abfolge.

Das Gehirn ist sehr an Mustern interessiert, weil es ständig versucht, Ordnung in die Komplexität der Welt zu bringen. Ist ein Muster erstmal erkannt, muss man sich nicht mehr mit jedem einzelnen vorkommenden Element beschäftigen. Das spart Energie.

Formen

Formen erkennen zu können bedeutet wieder ein Stück Ordnung in die komplexe Welt zu bringen. Beginnen Sie mit den Grundformen und suchen Sie sie gemeinsam mit den Kindern in der Umwelt. Dann kann man zu komplizierteren Formen wie Bögen, Trapezen usw. übergehen. Die nächste Frage lautet dann, warum die Dinge diese Form haben. Z. B. Kann man mit einem Würfel Fußball spielen? Wie kann das Loch über einem Fenster geschlossen werden?

Bleibandspiele

Bleibandgedicht

Jedes Kind bekommt ein Bleiband. Alle Kinder sitzen auf dem Fußboden mit genügend Platz vor sich, um die verschiedenen Figuren legen zu können.

Eine lange Schlange, die schlängelt sich durchs Gras  Schlängellinien

Der Frosch sprang in den Teich geschwind,

damit sie ihn nicht fraß.                                                      Teich (Kreis)

Die lange weiße Schlange, die klettert auf ein Dach                Spitze (Dreieck)

Ein Ziegel fiel herab und brach, das machte lauten Krach.     Ziegel (Rechteck)

Die lange Schlängelschlange kullert vom Dach herunter                           Kreise in

Sie landet in dem Regenfass und schwimmt darin ganz munter.    der Luft (Wellenlinien)

Die Schlange will nach Hause, sie biegt um eine Ecke           Ecke

(rechter Winkel)

Und kringelt sich in einem Rund, zusammen wie ´ne Schnecke               Spirale

(Spirale auf dem Boden)    

Gemeinsames Bild

Alle Kinder legen ein großes Bild mit ihren Schnüren

z.B. eine Kirche mit Turm, Spitzdach, Bogenfenstern usw.

oder ein Schiff mit Schornsteinen, Aufbauten, Containern, Bullaugen, Fahnenstange usw.

Umrisse legen und vergleichen

Immer drei Kinder arbeiten zusammen. Ein Kind liegt auf dem Boden und die drei Bleibänder werden herumgelegt. Die anderen Kinder müssen raten, welches Kind der Dreiergruppe das Abbild zeigt.

Formen legen

Jedes Kind bekommt ein Formensäckchen und ein Bleiband. Es legt die jeweils ertastete Form mit dem Bleiband nach.

Bleiband kann man in Gardinenabteilungen der Kaufhäuser kaufen. Es gibt sie mit verschiedenen Gewichten, schwerere sind besser (wir haben 100 genommen). Eine Länge zwischen 1m und 1,5m pro Kind hat sich bewährt. Die Enden haben wir mit dem Feuerzeug verschmolzen, um sie zu schließen.

Auf den Teppichen

Teppichreste bekommt man im Baumarkt. Hier ist Billigware empfehlenswert, da sie nicht an den Rändern ausfranst. Mit einem scharfen Cutter zuschneiden, am besten mit einer Anlegeschiene.

Assoziationsspiel

Alle Kinder sitzen auf dem runden (oder auf dem dreieckigen, auf dem quadratischen, auf dem rechteckigen) Teppich

Der Erwachsene fragt: „Was ist rund/dreieckig/quadratisch/rechteckig im Badezimmer?“,

oder „Was ist rund/dreieckig/quadratisch/rechteckig im Supermarkt?“

oder „Was ist rund/dreieckig/quadratisch/rechteckig im Wald?“

oder...

Formen bilden

Immer 4-6 Kinder stehen zusammen. Der Erwachsene sagt: „Wir bilden ein Dreieck/Quadrat/Kreis...“, Die Kinder fassen sich an den Händen und bilden zusammen ein Dreieck/Quadrat/Kreis...

Sehr schön sieht es aus, wenn man große Tücher hat (z.B. Schwungtuch), die man über die Kinder legen kann. Dann sehen die anderen von außen die Form noch besser.

Formen im Liegen

Alle Kinder stehen im Kreis, der Erwachsen sagt: “Sucht Euch Partner für ein Dreieck/Quadrat/Kreis.“ Die Kinder müssen überlegen, wieviele Kinder sich zusammentun müssen. Die Kinder legen die Figuren mit ihren Körpern auf dem Fußboden. Für einen Kreis braucht man 2 Kinder, für ein Dreieck 3, für ein Quadrat 4.

Laufspiel auf den Teppichen

Alle zusammen singen:

„Wir laufen herum, wir laufen herum,...          alle Kinder laufen

Oder wir rennen herum,...                                rennen usw., je nach

Oder wir schleichen herum,...                         Ansage

Oder wir hüpfen herum,...

Oder...

Auf einmal macht es „BUMM“                         die Trommel wird geschlagen                                                                       Alle Kinder bleiben stehen

                                                                         und hören zu.

Der Erwachsene sagt an:                                Die Kinder laufen zu dem

„Alle Kinder liegen im Dreieck                         jeweiligen Teppich und

Oder alle Kinder sitzen im Quadrat                nehmen die angesagte

Oder alle Kinder stehen im Kreis                    Position ein

Oder alle Kinder räkeln sich in der Raute

Oder...“

Sortierspiel

Alle anderen Formen und Materialien aus dieser Abteilung werden den jeweiligen Teppichen zugeordnet, sofern sie ähnliche Formen zeigen.

Messen

Maße

Schätzen und Messen gehören zusammen. Auf der Waage oder dem Maßband ablesen kann man einem Kind beibringen, ohne dass es eine Idee von Gewicht oder Strecke bekommt. Dieser mechanische Vorgang muss im Gehirn mit konkreten Vorstellungen verbunden werden.

Vor dem Messen sollten die Kinder also stets schätzen lernen, um ein Gefühl für die Größenordnungen zu bekommen.

Gewicht schätzen  

Was ist ein Kilogramm? Immer wieder die Zuckerpackungen, Mehltüten usw. in die Hand nehmen lassen. Der Körper muss „geeicht“ werden. Irgendwann weiß jedes Kind, wie sich der Druck von einem Kilo anfühlt und kann auch ohne Vergleich feststellen, dass z.B. 500 gr leichter sind als ein Kilo. Und zwar nicht im Kopf, sondern vom Körpergefühl her.

Körperwaage

Wieviele 1-Centstücke wiegen genausoviel wie ein 1€-Stück?

Zuerst viele 1-Centstücke in die eine Hand geben, das 1€-Stück in die andere Hand. Abwägen lassen (Hände rauf und runter hebeln). Dann die Anzahl der Centstücke ungefähr halbieren, in die andere Hand legen und das Eurostück in die eine Hand. So immer weiter (unbedingt die Hände immer wechseln, weil der Körper sich schnell an ein Gewicht gewöhnt und die Wahrnehmung dann ungenau wird), bis das Kind stopp sagt, weil es denkt nun ein Gleichgewicht zu spüren. Das ist in der Regel zwischen 5 und 2 Centstücken der Fall. Nachwiegen!

Körpermaße

Jedes Kind sollte wissen, wie groß es ist. Abmessen und auf einen Zettel schreiben, mitgeben, auch wenn das Kind Zahlen noch nicht lesen kann.

Die Finger messen oder den kleinen Zeh, oder die Haare oder..., um Unterschiede im Zentimeterbereich begreiflich zu machen.

Man kann auch Tabellen anlegen und Halbjahresvergleiche machen.

Der Erwachse kann zeigen, dass er Körpermaße hat, die sich zum Messen eignen, wenn kein Gerät vorhanden ist.

z. B. von einem Punkt der linken Schulter bis zu den Fingerspitzen des ausgestreckten rechten Armes ist es genau ein Meter. Oder die Spanne zwischen Daumen und abgespreiztem kleinen Finger ergibt 20 cm, oder...

Die Kinder können an sich herummessen und ebensolche Maße finden, allerdings ändern die sich wegen des Wachstums der Kinder ständig.

Entfernungen schätzen

Entfernungen im Raum und draußen ergeben einen sehr unterschiedlichen Eindruck. Darum muss man Längen sowohl im Raum als auch auf der Straße und in der Natur zu schätzen üben.

Die Maßeinheit im Raum sollte ein Meter sein, der für draußen 5m oder 10 Meter.

Mit dem Messrad kann man nachmessen. Meßräder sind günstig im Internet zu erstehen (es gibt sie auch teuer beim Kindergartenbedarf)

Meßgeräte

Um klarzustellen, dass es einheitliche Maße gibt, sollte es verschiedene Ausführungen von Meßgeräten geben (die alle zum gleichen Ergebnis kommen).

Waagen

Es gibt zwei verschiedene Methoden, um etwas abzuwiegen:

ØGewichtskraftmessung

ØMassenvergleich

In der Ausstellung sind beide Arten von Waagen vorhanden, in verschiedenen Ausführungen, um zu zeigen, dass es nicht auf die Art der Messung ankommt.

Gewichtskraftmesser

Bei dieser Methode wird gedrückt oder gezogen, zusammengequetscht oder verformt. Dabei zeigt eine Skala den Grad der Verformung an, der Rückschlüsse auf das Gewicht zuläßt. Allerdings werden dabei die Verhältnisse auf der Erde vorausgesetzt. Auf dem Mond ist alles viel leichter! Obgleich man dort mit einem Kilo Zucker noch genausoviele Tassen Kaffee süßen kann wie auf der Erde, wiegt er viel weniger auf solchen Waagen. Das zeigt, dass Masse und Gewicht unterschiedliche Größen sind. Gewicht ist immer von der Massen-anziehung abhängig, auf der Erde von der Schwerkraft.

Alle elektronischen Waagen arbeiten ebenfalls nach diesem Prinzip. ( Die Wegmessung kann z. B. über die Kapazitäts-Änderung eines Kondensators bei Änderung eines Plattenabstandes erfolgen.)

Massenvergleich

Diese Waagen arbeiten mit dem Vergleich. Die Masse des Zuckerpaketes wird durch den Vergleich mit Standardgewichten bestimmt. Auch diese Waagen arbeiten mit der Gravitation, müssen jedoch nicht auf die örtliche Schwerkraft eingestellt werden und könnten daher auch auf anderen Himmelskörpern verwendet werden.

Wenn Sie auf Spaziergängen und Ausflügen immer ein Stück Kordel dabei haben (braucht man sowieso für alles Mögliche), ist es einfach, bei Bedarf eine Waage zu bauen. Ein grader Stock von beliebiger Länge wird in der Mitte aufgehängt, rechts und links ein Sandeimer oder Ähnliches angehängt – fertig ist die Waage.

Damit kann man z.B. messen, ob eine Schaufel nasser Sand genausoviel wiegt wie eine Schaufel trockener Sand.

kleine Waagen-Geschichte

Ein Waagebalken aus dem 5. Jahrtausend v. Chr. wurde in einem prähistorischen Grab in Ägypten entdeckt. Sie ist also 7000 Jahre alt. Die Aufhängung des Waagebalkens bestand aus einem Seil, an seinen äußeren Enden hingen die Waagschalen.

Die Römer kannten auch ungleicharmige Waagen, der längere Arm trug ein verschiebbares Wägestück sowie eine Strichmarkierung.

In der Renaissance kamen in alchimistischen Labors hochempfindliche Analysewaagen zum Einsatz.

1669 erfand der Franzose Joachim Rosentahl de Romeé die Tafelwaage. Sie hatte den Vorteil, dass die Position der zu wiegenden Last auf den Waagschalen das Ergebnis nicht beeinflusste.

1763 baute der schwäbische Pfarrer Philipp Matthäus Hahn eine Neigungswaage mit direkter Gewichtsanzeige.

Um 1810 entstanden Dezimal- und Küchenwaagen

Um 1850 wurden Versuche unternommen, das Wägeergebnis automatisch zu drucken. 1895 kamen in den USA Waagen mit gleichzeitiger Preisanzeige auf (preisrechnende Waagen).

1939 leiteten zwei amerikanische Ingenieure mit der Nutzung elektrischer Widerstandsänderungen das Zeitalter der elektronischen Waagen ein.

Längenmaße

Der Meter

1735 entsandte die Pariser Akademie zwei Expeditionen zur Gradmessung nach Peru und Lappland, um die genauen Abmessungen der Erde festzustellen. Im Jahr 1793 setzte der französische Nationalkonvent – neben einem neuen Kalender – auch ein neues Längenmaß fest: Der Meter sollte den 10-millionsten Teil vom Pol zum Äquator darstellen. Ein Prototyp dieses Meters wurde 1795 in Messing gegossen.

Im 19. Jahrhundert kamen allerdings genauere Vermessungen der Erde zum Ergebnis, dass das Urmeter etwa 0,02 % zu kurz geraten war. Dennoch wurde an dem definierten Meter festgehalten – mit dem Ergebnis, dass der Erdmeridian nicht 10.000, sondern 10.001,966 km lang ist. Das Meter richtete sich nicht mehr nach der Vermessung der Erde, sondern entsprach nun – bis 1960 – der Länge eines konkreten Gegenstands.

Obgleich bei der Herstellung des Meterprototyps größter Wert auf Haltbarkeit und Unveränderbarkeit gelegt worden war, war doch klar, dass er grundsätzlich vergänglich ist. Auch gab es keine einfache Möglichkeit, die Übereinstimmung der verwendeten Längeneinheit mit dem Urmeter in einem beliebigen physikalischen Labor sofort zu überprüfen.

Um dem Abhilfe zu schaffen, wurde 1960 festgelegt, die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum c = 99792458 m/s) als Grundlage zu nehmen. Der Zahlenwert wurde dabei so gewählt, dass das Ergebnis dem bis 1960 gültigen Meter mit denkbar größter Genauigkeit entspricht.

Einheiten und Umrechnung

Kilometer:      1 km  = 1000 m      = 103 m

Hektometer:  1hm   = 100 m        = 102 m

Dekameter:    1dkm = 10 m           = 101 m

Meter:             1 m    = 1000 mm   = 100 m

Dezimeter:     1 dm  = 10 cm         = 100 mm = 10-1 m

Zentimeter:    1 cm  = 10 mm       = 10-2 m

Millimeter:      1 mm = 1000 µm    = 10-3 m

Mikrometer:    1 µm  = 1000 nm    = 10-6 m

Nanometer:    1 nm  = 1000 pm    = 10-9 m

Pikometer:      1 pm  = 1000 fm     = 10-12 m

Femtometer:  1 fm   = 1000 am    = 10-15 m

Attometer:       1 am  = 1000 zm    = 10-18 m

Zeptometer:  1 zm  = ...                = 10-21 m

(nach Zeptometer gibt es keine Bezeichnungen mehr)

Nicht-metrische Längenmaße

Fuß (engl. foot, Pl. feet), 1 ft = 12 in = 0,3048 m. Der Fuß wurde ehemals am Fuß des jeweiligen Königs gemessen. Das war natürlich denkbar unpraktisch, da sich das Maß ständig änderte, aber der König war eben das Maß aller Dinge!

Die globale Einführung des Fuß als Höhenmaß in der Luftfahrt (um 1980) ist eigentlich ein Verstoß gegen die internationalen Konventionen. Darin verpflichten sich alle Unterzeichner zu den metrischen Maßeinheiten. Dies ist für den internationalen Handel sinnvoll. Man sieht aber, dass Maße auch eine Machtfrage sind, der Stärkste kann seine Maße durchsetzen (auch wenn sie umständlich sind).

Die Terrestrische oder Land - Meile der USA entspricht 1,609344 km.

Seemeile oder nautische Meile, 1 sm = 1,852 km (entspricht 1' Breitendifferenz in der Navigation

Ein Werst entspricht 1066,8 m (Russland)

Die Maßeinheit Zoll in England (engl. inch)
ergibt umgerechnet 1" = 2,54 cm

Alte Längenmaße

Elle (Länge je nach Region und Epoche unterschiedlich)

meist ca. 46 cm

Gewicht und Masse

Kilo

(vom griechischen chílioi, deutsch: tausend) bezeichnet: Masse

Gramm

Der Name stammt vom von lat. gramma der Bezeichnung für ein kleines Gewicht (1/24 Unze, entsprechend dem sogenannten Skrupel, ca. 1,25 g)

Als Kilogramm wurde definiert die Masse eines Liters (dm3) Wasser bei maximaler Dichte (also bei 3,98 °C) und gegebenem Druck auf der Erde bei 0,00m Höhe. Leider enthalten die Definitionen der Einheiten Temperatur und Druck selbst wieder die Einheit Masse. Um die Masse über einen Liter Wasser zu definieren, müsste also paradoxerweise die Masse bereits definiert sein. So geht es nicht!

Seit 1888 bildet das Urkilogramm (der Internationale Kilogrammprototyp) den weltweit einzigartigen Referenzwert für die Maßeinheit Kilogramm. Es wird in einem Tresor des Internationalen Büros für Maß und Gewicht in Paris aufbewahrt.

Definition: Das Kilogramm ist gleich der Masse des Internationalen Kilogramm-Prototyps.

Länder, die dem metrischen System beigetreten sind, also die Meterkonvention unterschrieben haben, sind im Besitz von Kopien dieses Urkilogramms. Das Internationale Komitee für Maß und Gewicht entscheidet darüber, wann diese nationalen Kopien mit dem Urkilogramm verglichen werden. Bisher gab es solche Vergleiche um 1950 und zuletzt um 1990. Hierbei stellte man fest, dass das Urkilogramm im Laufe der Jahre um 0,00005 Gramm (50 Mikrogramm) leichter geworden ist im Vergleich zu den Kopien. Die Ursache ist bisher unbekannt.

Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt besitzt neben dem aktuellen deutschen Duplikat des Urkilogramms auch das im Zweiten Weltkrieg beschädigte deutsche originale Urkilogramm und außerdem das der DDR. Das Kilogramm die einzige Größe, die nicht mit einer definierten Messung in einem Labor bestimmt werden kann und durch eine Maßverkörperung definiert ist.

Auf der nächsten Seite erfolgt ein Überblick über die derzeitigen Bemühungen, die Definition des Kilogramms so zu gestalten, dass es an jedem Ort der Erde und des Weltalls nachvollziehbar ist. Das muss man nicht verstehen, nur bewundern.

Derzeit wird weltweit daran gearbeitet, das Kilogramm so zu definieren,  dass es von einer Fundamentalkonstanten der Physik abgeleitet werden kann. Um eine Verbesserung gegenüber der derzeitigen Situation zu erzielen, muss ein Verfahren zur Massebestimmung mit einer Genauigkeit in der Größenordnung von 10−8 entwickelt werden. Ein Ergebnis soll bis 2010 erreicht werden, damit 2011 auf der nächsten turnusgemäßen Generalkonferenz für Maß und Gewicht eine neue Definition verabschiedet werden kann. Hierbei werden noch zwei verschiedene Ansätze ernsthaft verfolgt, zwei weitere wurden auch mit Blick auf den Termin 2010 vorläufig aufgegeben:

Avogadroprojekt

Bestimmung der Avogadro-Konstante NA aus Masse m und Volumen V eines Körpers, der aus einem Material bekannter Teilchendichte n und molarer Masse M besteht:

Eine ausreichend genaue Bestimmung der Teilchendichte ist nur mittels Röntgenlaserinterferometer möglich und setzt ein monokristallines Material voraus. Wegen der Anforderungen an die Genauigkeit der Materialkennwerte kommt hierfür derzeit praktisch nur chemisch höchstreines, isotopenreines Silicium 28 in Frage.

Nach verschiedenen Analysen und der Züchtung von Einkristallen, bei der auch die chemische Reinheit durch mehrfache Anwendung des Zonenschmelzverfahrens nochmals vergrößert wurde, wurden am National Measurement Institute in Australien daraus zwei 1-kg- hergestellt. Zur Zeit erfolgen aufwändige Analysen, anschließend die Messungen.

Wattwaage

Ermitteln des Gewichtes eines massebehafteten Körpers durch eine Watt-Waage. Hierbei werden in zwei Schritten erstens der Strom in einer Spule, mit der in einem Magnetfeld eine magnetische Kraft erzeugt wird und zweitens die durch Bewegung der Spule in diesem Magnetfeld induzierte Spannung gemessen (Strom × Spannung = elektrische Leistung mit der Einheit Watt). Außerdem müssen die Geschwindigkeit der bewegten Spule und die Fallbeschleunigung, die die Gewichtskraft des Gewichtstückes erzeugt, gemessen werden. Um dieses Verfahren zur Grundlage einer Neudefinition des Kilogramms zu machen, müsste schließlich ein exakter Wert der Planckschen Konstanten festgelegt werden. An diesem Verfahren arbeiten u. a. der National Research Council of Canada, das US-amerikanische National Institute of Standards and Technology und das schweizerische

Ionenakkumulation

Erzeugung einer wägbaren Masse mit Hilfe eines Ionenstrahls (elektrisch geladener Atome) und Aufsammeln der Ionen. Durch Messung des elektrischen Stroms des Ionenstrahls und der Zeit lässt sich dann die Masse eines Atoms in der Einheit Kilogramm berechnen. Die Experimente an der Ionenstrahlmethode wurden mittlerweile eingestellt, da es unmöglich sei, bis 2010 mit dieser Methode zu verwertbaren Ergebnissen zu kommen.

Magnetisches Schwebeexperiment

In einem inhomogenen Magnetfeld wird ein Magnet zum Schweben gebracht. Aus der Position des Magneten in diesem Feld lässt sich seine Masse berechnen. Dieser Ansatz wurde ursprünglich vom japanischen damaligen National Research Laboratory of Metrology verfolgt, mittlerweile aber wegen mangelnder erzielbarer Genauigkeit

Zahlen

Bei den Fingerspielen und Liedern, die mit dem Baby gespielt werden, kommen in unserer Kultur schon früh die Zahlen vor. Trotzdem können kleine Kinder im wahrsten Sinne des Wortes nur bis drei zählen. Danach verlieren sie den Überblick. “Eins, zwei, drei, viele“ lautet hier die Zählweise. Erst zwischen dem 4. und 6. Lebensjahr kann der Zahlenbegriff ausgebildet werden. Alles andere ist Auswendiglernen von Reihenfolgen: dass nach der 6 die 7 kommt, wissen viele Kinder schon früh. Es bedeutet aber nicht, dass sie das Zahlensystem begriffen haben.

Zahlen erarbeiten

Beginnen Sie mit der 1. Wer den Unterschied zwischen eins und Null kennt, weiß eigentlich schon alles. Die Eins ist nämlich überall drin. Ihr seid 3 Geschwister? Also haben wir 1 Paul, 1 Mareike und 1 Benjamin. Auch Fünfunddreißigmillionen ist bloß fünfunddreißigmillionen mal die Eins.

Deswegen ist die Zwei auch babyeierleicht, weil sie einfach nur zweimal die Eins ist.

Die Drei ist natürlich dreimal die Eins. Weil wir ja die Zwei schon kennen, können wir auch sagen, die Drei ist einmal die Zwei und einmal die Eins – oder einmal die Eins und einmal die Zwei. (Sie denken, diesen umgekehrten Fall muss man nicht erwähnen? Reden Sie mit den Kindern!) Die Vier bietet noch mehr Möglichkeiten. Wie kann man sie zusammensetzen?

Auf diese Weise wird jede Zahl erarbeitet, bis das Kind darin sicher ist. Dann folgt die nächst höhere Zahl. Wenn Sie sich bis zur 10 oder 12 vorgearbeitet haben, ist das System dem Kind klar.

Andere Zahlensysteme

Additionssystem

Die ersten Zahlensysteme waren Additionssystem. Das bedeutet, dass aneinandergereihte Symbole mit einem bestimmten Zahlenwert einfach zusammengezählt wurden.

Ägyptische Zahlen, rund 5000 Jahre alt

1              10                       100             1000      10 000        100 000    1000 000

Strich  Rindergespann   Seilschlinge  Wasserlilie  Finger       Frosch      Betender

Ein ähnliches System hatten vor rund 2500 Jahren die Römer, dessen Zahlen in Deutschland noch auf alten Gräbern und Gebäudeinschriften oder manchmal auf den Ziffernblättern von Uhren zu finden sind. Allerdings hatten sie von den Etruskern auch noch die Zwischenschritte wie 5, 50 usw. übernommen, was die Lesbarkeit gegenüber den ägyptischen Zahlen etwas erhöht.

Die heute verwendeten römischen Ziffern

I    II        III   IV   V    VI    VII    VIII   IX    X         L   C    D     M

1   2    3      4       5       6          7       8         9      10  50  100     500   1000

zeigen recht deutlich, warum die mittelalterlichen Händler mit Freuden das System der arabischen Händler übernahmen. Ein Rechnen ist hier nicht möglich und auch das Entziffern der Inschriften ist nicht so schnell getan

MDCCCLXXIV = ?*

Die Araber erfanden das dezimale Zahlensystem, wie wir es kennen.

      1      2      3      4    5     6         7         8         9          0

Damit konnte man gut rechnen!

Positionssystem

Eine völlig andere Methode besteht darin, den Wert einer Zahl an ihre Stelle zu knüpfen. Unser Dezimalsystem ist so gegliedert. Die niedrigste Position steht dabei ganz rechts, die Stellen nach links hin sind jeweils als 10faches definiert. Dazu benötigt man eine gewisse Anzahl an Basiszahlen, damit läßt sich dann alles Weitere ausdrücken. Das Dezimalsystem hat 10 Basiszeichen, von 0 bis 9 (obgleich wir für elf und zwölf noch eigene Worte haben, da schimmert noch das alte 12er-System durch. Ab der dreizehn zählen wir systematisch).

1234567890 = einemilliardezweihundertvierunddreißigmillionenfünhundertsiebenundsechszigtausendachthundertundneunzig.

Ebenfalls entscheidend ist die Position der Zahl bei binären Systemen. Hier besteht die Grundlage aus nur 2 Ziffern: die 1 und die 0. Um “ Alles aus dem Nichts zu entwickeln genügt Eins.“ (Leibniz 1697) Das Dualsystem erscheint uns sehr modern, weil es in der Computertechnik Anwendung findet. Es wurde aber schon 330 v. Chr. von einem indischen Mathematiker erfunden.

Die Umrechnung erfolgt beim Dualsystem auf der Basis von 2. Z. B. die Zahl Dreizehn ergibt sich aus

1x2³+1x2²+0x21+1x20 =8+4+0+1=13

Zahlennamen

Im Deutschen (wie in einigen anderen Sprachen) führt die Nennung der niedrigeren Zahl bei zusammengesetzten zweistelligen Zahlen leider zur Verwirrung beim Niederschreiben. Die logische Bezeichnung von einundzwanzig wäre zwanzig-eins. Man muss also immer erst bis zum Ende hinhören und die Zahl dann in umgekehrter Reihenfolge hinschreiben. Ab den Hunderterstellen ist es dann richtig herum, man sagt dreihundert, siebentausend usw.

Ein anderes Problem besteht darin, dass international identische Zahlennamen in hohen Bereichen für völlig verschiedene Zahlen verwendet werden. Das führt in der Praxis oft zu Missverständnissen. Die USA kennen keine -iarden-Endungen, so dass bei Ihnen eine Billionen das 1000fache der Millionen ist, bei uns wäre das eine Milliarde, erst danach kommt die Billionen. Obgleich 1961 eine entsprechende Vereinbarung weltweit unterschrieben wurde, ist es immer noch in den nicht-englischsprachigen Ländern üblich, mit –iarden zu rechnen.

Figurenspiele

Fingerpuppen kann man günstig im Internet erstehen. Da man für eine Gruppe von 10 Kindern schon 100 Stück benötigt und der Erzieher auch noch welche braucht, ist es sinnvoll, hier Sonderangebote zu nutzen.

Vorwärts zählen

Das jeweils genannte Tier wird aufgesteckt und nach jedem Finger wird gefragt: „ Wieviele Tiere sind es jetzt?“